Question

已知关于x的一元二次方程2x^2+4x+k-1=0有实数根,k为正整数.

已知关于x的一元二次方程2x^2+4x+k-1=0有实数根,k为正整数.
（1）求K的值
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关於x的二次函数y=2x^2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象在x轴下方的部份沿x轴翻折，图象的其余部份保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y=1/2x+b(b<k)与此图像有两个公共点时，b的取值范围.

Answer 1

(1)
∵有实数根
∴△≥0
∴4²-4*2*(k-1)≥0
∴k≤3
又k为正整数
∴k的值为1,2,3

(2)
∵k的值为1,2,3
∴
①当k=1时，y=2x²+4x，显然有一根为0，不符舍去。
②当k=2时，y=2x²+4x+1,则△=4²-4*2*1=8
∴√△是无限不循环小数
∴根不是整数，不符，舍去。
③当k=3时，y=2x²+4x+2=2(x+1)²
∴有等根x=-1（非零、整数：符合）
综合①②③得：k=3
∴y=2x^2+4x+2
下移8个单位，即y-8，∴y=(2x^2+4x+2)-8=2x^2+4x-6

(3)
y=2x^2+4x-6=2(x+3)(x-1)
∴y=0的两根为x=1和x=-3
先作图，并画出直线y=1/2x，并把直线上下平移
设
平移中与y=2(x+3)(x-1)相切的直线（切于-3＜x＜1）为 l1
平移中与y=2(x+3)(x-1)相交于点(-3,0)的直线为 l2
平移中与y=2(x+3)(x-1)相交于点(1,0)的直线为 l3
显然当直线在 l1 上方 或 在 l2 与 l3 之间时有两个公共点
①联立 y=1/2x+b 和 y=-(2x^2+4x-6) 可以解出 l1，得到的b=6+81/32 > k = 3 ，不符舍去。
②∵l2过(-3,0)，l3过(1,0)
∴解得：b2=3/2，b3=-1/2
∴-1/2<b<3/2
又 b<k=3
∴-1/2<b<3/2

Answer 2

（1）由△=16-8（k-1）≥0得k≤3，又k为正整数
∴k=1、2、3
（2）当k=1时，原方程有一个根为0；当k=2时，原方程无整数根；当k=3时，原方程有两个非零的整数根。综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去；k=3符合题意，当k=3时，二次函数为y=2x²+4x+2，把它的图像向下平移8个单位，得到图像的解析式为y=2x²+4x-6。
（3）设二次函数y=2x²+4x-6的图像与x轴交于A、B两点，则A(-3,0)、B（1,0），依题意（翻折后的图像略），当直线y=½x+b经过B点时，可得b=-½，又图像可知，符合题意的b（b＜3）的取值范围为-1/2＜b＜3/2

Answer 3

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Answer 4

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