Question

7．设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为 ，

Answer 1

假设f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)
令x=0则f(0)=c那么c就是函数图象在y轴上的截距则c=1
则f(x)=ax^2+bx+1
f(x-2)=a(x-2)^2+b(x-2)+1
=ax^2+(b-4a)x+(4a-2b+1)
f(-x-2)=a(-x-2)^2+b(-x-2)+1
=ax^2+(4a-b)x+(4a-2b+1)
依题意有ax^2+(b-4a)x+(4a-2b+1)=ax^2+(4a-b)x+(4a-2b+1)
即b=4a
那么f(x)=ax^2+4ax+1
图象被x轴截得的线段就是图象与x轴交点间的距离
令f(x)=ax^2+4ax+1=0并设x1,x2为方程的两根
则│x1-x2│=√[(x1-x2)^2]
=√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√[(-4a/a)^2-4/a]
=√(16-4/a) (a<0或a≥1/4)