Question

一个高中数学题

定义函数y=f(x) x属于D ，若存在常数C，对任意的x1属于D ，存在唯一的x2属于D ，使得 0.5f(x1)+0.5f(x2)=c，则称函数 在D上的均值为C。已知f(x)=lgx ，则函数在x属于[10,100]上的均值为（ ）
A、1.5 B3/4 C、0.7 D、10
分析：0.5lgx1x2=c ，从而对任意的x1属于D，存在唯一的X2属于D，使得X1,X2为常数。充分利用题中给出的常数10，100。令x1x2=10X100=1000,当 时x1属于[10,100]，x2=1000/x1 属于[10,100] ，由此得C=0.5lgx1x2=1.5 故选A。

郁闷 为什么可以令x1x2=1000?

Answer 1

本题作为解选择题，思路是正确的，但解释不够透彻，之所以令x1x2=1000，是因为采用的特值法，这种方法解选择题会提高速度。本题对任意的x1属于D即[10,100]，存在唯一的X2属于D即[10,100]，那么可取x1=10,则x2=100,x1x2=1000.从而得出C=0.5lgx1x2=1.5 。只不过解析中的特值是取的x1x2的乘积，以其乘积为参数，而不是对x1或x2取特值。

Answer 2

0.5lgx1+0.5lgx2=c, c=0.5lgx1x2
∵x1,x2∈ [10,100]
∴ 10000≥x1x2≥100
4≥lgx1x2≥2
2≥0.5lgx1x2≥1
即2≥c≥1
所以选A

Answer 3

可以用X1来表示X2，可得X2=（10的2c次方）/X1
因为X1是任意值，因此10的（2c-2）次方≤（10的2c次方）/X1≤10的（2c-1）次方，所以10的（2c-2）次方≤X2≤10的（2c-1）次方，又因为10≤X2≤100，所以10≤10的（2c-2）次方，
10的（2c-1）次方≤100，两个联立可得c=1.5