Question

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°。动点P、Q同时从点A出发，其中P以4m/s的速度

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°。动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2√3cm/s的速度，沿A→C的路线向C运动。当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒。
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N
①当t为何值时，点P、M、N在同一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以23cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 2

（1） 若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝23t. 则 APAQ＝4t23t＝233 ，
又 ∵ AO＝103，AB＝20，∴ ABAO＝20103＝233 .
∴ APAQ＝AB AO，……1分 又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO…………2分
∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC. …………………………………………………3分
当5＜t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC……4分
∴ 在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC.
（2）① 如图，在RtAPM中，易知AM＝83t3，又AQ＝23t，
QM＝203－43t.………………………………………5分
由AQ＋QM＝AM 得23t＋203－43t＝83t3……6分
解得t＝307 ………………………………………………7分
∴ 当t＝307时，点P、M、N在一直线上.
② 存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.
设l交AC于H.
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°.
∴ MH＝2NH，得 203－43t－23t3＝2×83t3 解得t＝2， …………9分

如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°.
∴ MH＝2PH，同理可得t＝ 203 .……………………………………………10分
故 当t＝2或 203 时，存在以PN为一直角边的直角三角形.………………

Answer 3

（1）PQ与AC互相垂直
（2）t=30/7
（3）t=2或t=20/3