Question

已知函数f(x)=x2/ax+b（这里a、b为常数）且方程f（x）-x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．

（1）求函数f（x）的解析式
（2）若关于x的不等式f(x)<kx在x属于(0,1)时恒成立,求实数k的取值范围
（3）若关于x的不等式f(x)<x+m在x属于(0,1)时恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

f(x)=x^2/(ax+b)

将x1=3,x2=4分别代入方程f(x)-x+12=0
9/(3a+b)-3+12=0, 3a+b=-1
16/(4a+b)-4+12=0,4a+b=-2
解方程组得：a=-1,b=2
f(x)=x^2/(ax+b)=x^2/(2-x)
(2)

f(x)<kx

x^2/(2-x)<kx,x∈(0,1)时恒成立

x>0

∴x/(2-x)<k,x∈(0,1)时恒成立

g(x)=x/(2-x)=-1+2/(2-x)

是增函数

∴最大值1/(2-1)=1（取不到）

∴k≥1

k的取值范围:k≥1

(3)

f(x)<x+m在x属于(0,1)时恒成立

x^2/(2-x)<x+m

2(x^2-x)/(2-x)<m

h(x)=2(x^2-x)/(2-x)在(0,1)是先减后增

h(0)=h(1)=0是最大值（取不到）

∴m≥0

实数m的取值范围：m≥0

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