Question

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： （1）操作发现：在等腰△ABC

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： （1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG= 1 2 AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME． （2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程； （3）类比探究： （i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答： ． （ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍然成立，j认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．

Answer 1

●操作发现：①②③④
●数学思考：
答：MD=ME，MD⊥ME，
1、MD=ME；
如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MF= AC．
又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，
∴EG⊥AC且EG= AC，
∴MF=EG．
同理可证DF=MG．
∵MF∥AC，
∴∠MFA＋∠BAC=180°．
同理可得∠MGA+∠BAC=180°，
∴∠MFA=∠MGA．
又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°．
同理可得∠DFA=90°，
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，
即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME．
2、MD⊥ME；
证法一：∵MG∥AB，
∴∠MFA+∠FMG=180°，
又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF.
∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°，
其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，
∴∠DME=90°.
即MD⊥ME；
证法二：如图2，MD与AB交于点H，
∵AB∥MG，
∴∠DHA=∠DMG，
又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH,
即∠DHA=∠FDM+90°,
∵∠DMG=∠DME+∠GME，
∴∠DME=90°
即MD⊥ME；
●类比探究
答：等腰直角三解形
【考点解剖】 本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高．
【解题思路】 （1） 由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DMB=45°也正确；（2）直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1△DFM≌△MGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MD⊥ME就是要证∠DME=90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四个角相加为180°，∠FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DME=90°． （3）只要结论，不要过程，在（2）的基础易知为等腰直角三解形.

Answer 2

【答案】 解：
●操作发现：①②③④
●数学思考：
答：MD=ME，MD⊥ME，
1、MD=ME；
如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，
∵M是BC的中点，
∴MF‖AC，MF=
AC．
又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的

追问

第四个不明白

前三个都知道