Question

设max{f(x),g(x)}={g(x),f(x)<=g(x) f(x),f(x)>g(x).函数h(x)=x^2+px+q的图像经过不同的两点(α,0)(β,0)

设max{f(x),g(x)}={g(x),f(x)<=g(x) f(x),f(x)>g(x).若函数h(x)=x^2+px+q(p,q属于R)的图像经过不同的两点(α,0)(β,0)，且存在整数n，使得n<α<β<n+1成立则
A.max{h(n),h(n+1)}>1 B.max{h(n),h(n+1)}<1
C.max{h(n),h(n+1)}>1/2 D.max{h(n),h(n+1)}<1/2

Answer 1

这道题选B
max括号里谁大结果就是谁
也就是说h(n)和h(n+1)谁大，max{h(n),h(n+1)}的结果就是谁
考虑四种极端情况
第一种：α无穷接近于n，β无穷接近于n+1，
【更极端一点看做α=n，β=n+1，h(x)=(x-n)(x-n-1)。】（当然这是不可能的）
此时h(n)无穷接近于0，h(n+1)无穷接近于0,max{h(n),h(n+1)}无穷接近于0
第二种：α，β都无穷接近于n，
【更极端一点看做α=β=n， h(x)=(x-n)^2。】（当然这是不可能的）
此时h(n)无穷接近于0，h(n+1)无穷接近于1，max{h(n),h(n+1)}无穷接近于1
第三种：α，β都无穷接近于n+1，
【更极端一点看做α=β=n+1， h(x)=(x-n-1)^2。】（当然这是不可能的）
此时h(n)无穷接近于1，h(n+1)无穷接近于0，max{h(n),h(n+1)}无穷接近于1
第四种：α，β都无穷接近于n+1/2，
【更极端一点看做α=β=n+1/2， h(x)=(x-n-1/2)^2。】（当然这是不可能的）
此时h(n)无穷接近于1/4，h(n+1)无穷接近于1/4，max{h(n),h(n+1)}无穷接近于1/4

综上所述，0＜max{h(n),h(n+1)}＜1 ，这道题选B

题外话：其实选择题，可以简化题目，比如把n设定为0，再试几个极端的值，就能看出选项了

Answer 2

设x0为区间上任一点
(a) 若f(x0)不等于g(x0),
不妨设f(x0)>g(x0)
由于连续性，存在x0的一个小邻域，在其中有
f(x)>=g(x).此时h(x)=f(x),故此h(x)在x0处连续。
(b)若f(x0)=g(x0),由于连续性，对于任意小的正数s,存在x0的一个小邻域，
使：|f(x)-f(x0)|<s,
|g(x)-g(x0)|<s.
此时|h(x)-h(x0)|<=
max{|f(x)-f(x0)|,|g(x)-g(x0)|<s
即h(x)在x0处连续。
综合二者，命题得证
同理可证p(x)的连续性