Question

一个关于特征值，特征多项式的高等代数题目

Answer 1

写出A的矩阵，写出特征多项式|λE-A|=0,记该特征多项式为Dn，然后计算行列式。计算行列式的方法是按行列式加法，拆开最后一行 （－anb1 －anb2 …… λ－anbn）分为（－anb1 －anb2 …… －anbn）和（0 0 ……λ），则提取前者的－an ，可把各行的aibi均化去，只剩λ，因此Dn＝λDn－1 －anbnλn-1＝λ（λDn－2 －an－1bn－1λn-2）－anbnλn-1 ＝λ2Dn-2－（an－1bn－1+anbn）λn-1＝…… ＝λn-1D1－（a2b2+…+an－1bn－1+anbn）λn-1 ＝λn－（a1b1+a2b2+…+an－1bn－1+anbn）λn-1即得A的特征多项式f（λ）＝Dn＝…，因此可得特征值λ1＝λ2＝…＝λn－1＝0，λn＝a1b1+a2b2+…+an－1bn－1+anbn 。要求E+A的特征值，设为k，既求|kE—（E+A）|＝|(k－1)E－A|=0的解，明显k＝λ＋1，即E+A的特征值为k1＝k2＝…＝kn－1＝1, kn= a1b1+a2b2+…+an－1bn－1+anbn+1