Question

求方程y''-y=2e^x的通解

求大家帮忙，谢谢啦！！

Answer 1

特征方程为t^2-1=0,得t=1，-1
则齐次方程的通解为y1=C1e^x+C2e^(-x)
设特解为y*=axe^(x)
则y*'=a(1+x)e^(x)
y*"=a(2+x)e^(x)
代入原方程：a(2+x)-ax=2
即2a=2
a=1
因此原方程的通解为y=y1+y*=C1e^x+C2e^(-x)+xe^x

Answer 2

解：齐次特征方程：
2r^2+r-1=0
(2r-1)(r+1)=0
r=1/2,r=-1
因此齐次通解是y=c1e^(x/2)+c2e^(-x)
设非齐次特解是y=ae^x
y'=ae^x
y''=ae^x
2ae^x+ae^x-ae^x=2e^x
a=1
所以特解是y=e^x
所以非齐次通解是y=c1e^(x/2)+c2e^(-x)+e^x