Question

已知,a分之1+b分之1+c分之1=（a+b+c）分之1。求证（a的2011次方）分之1+（b的2

011次方）分之1+（c的2011次方）分之1=（a的2011次方+b的2011次方+c的2011次方）分之1

Answer 1

方程：1/a+1/b+1/c=1/a+b+c 两边同时乘以abc （abc不等于0）
得到：bc+ac+ab=abc/（a+b+c） 两边同时a+b+c
得到：a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc=abc
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=0
而a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=(a+b)(b+c)(a+c)=0
所以：a+b,b+c,c+a中，至少有一个是0
不妨设a+b=0,
即a=-b，
1/a^2n-1 + 1/b^2n-1 + 1/c^2n-1
=1/a^2n-1 - 1/a^2n-1 + 1/c^2n-1
=1/c^2n-1
=1/ 【a^2n-1 - a^2n-1 + c^2n-1】
=1/ 【a^2n-1+ b^2n-1 + c^2n-1】
命题得证。