Question

求正交变换X=PY，化二次型f (x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3为标准形. 我想问这个二次型的矩阵是怎么

看出来然后写下来的还有（XE-A）和（A-XE）是不是都可以求特征值 ？和分别用在什么题型啊 谢谢

Answer 1

二次型 f (x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3 的矩阵是 A=
[ 0 -1 1]
[-1 0 1]
[ 1 1 0]
解得特征值 λ=1，1, -2.
对应特征向量分别为 (1，-1, 0)^T, (1，0, 1)^T, (1，1, -1)^T.
前两个正交化，得 (1，-1, 0)^T, (1/2，1/2, 1)^T,
再单位化，得 (1/√2，-1/√2, 0)^T, (1/√6，1/√6, 2/√6)^T,
第3个单位化，得(1/√3，1/√3, -1/√3)^T
则正交矩阵 P=

[ 1/ √2 1/ √6 1/√3]
[-1/ √2 1/ √6 1/√3]
[ 0 2/ √6 -1/√3]
使得 P^T*AP=diag(1, 1, -2)，
即 f(y1,y2,y3)=(y1)^2+(y2)^2-2(y3)^2.