Question

求下列一些比较难的数列题目的解析，谢谢

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Answer 1

第一题：注意到，S_{20}-S_{10}=S_{10}*q^10，S_{30}-S_{20}=S_{10}*q^20。
也就是说，S_{30}=S_{10}*[q^20+q^10+1]
为了方便起见，我们设p=q^10。
那么，p^2+p+1=70/10=7，所以(p-2)(p+3)=0
因为p的定义，p=2。（注意此处舍去-3，使得答案没有-200）
S_{40}-S_{30}=S_{10}*q^30=10*p^3=80
所以S_{40}=150。
第二题：a_{n}=a_{1}*q^(n-1)
所以S_{n}=a_{1}*(1-q^n)/(1-q)
所以2*(1-q^n)/(1-q)=(1-q^(n+1)+1-q^(n+2)/(1-q)
所以2*q^n=q^(n+1)+q^(n+2)
所以2=q^2+q，(q-1)(q+2)=0，注意到q=1不满足S_{n}(分母为0），所以q=-2。
第三题：请把S_{n}/T_{n}后面的分数打一下，截掉了 不敢做，谢谢。

追问

第三8n+2，b5

追答

所以第三题是这样的：
设a_{n}=a_{1}+p(n-1) S_{n}=[2a_{1}+p(n-1)]*n/2
b_{n}=b_{1}+q(n-1) T_{n}=[2b_{1}+q(n-1)]*n/2
所以p/q=9/8。
不妨设p=9，q=8（如若不然a_{1}、b_{1}等比例放缩亦可实现）
则[2a_{1}+9(n-1)](8n+2)=[2b_{1}+8(n-1)](9n+30)
展开。72n^2+{8[2a_{1}-9]+18}n+[4a_{1}-18]=72n^2+{9[2b_{1}-8]+240}+[60b_{1}-240]
所以，16a_{1}-54-18b_{1}+72-240=0 16a_{1}-18b_{1}-222=0
4a_{1}-18-60b_{1}+240=0 4a_{1}-60b_{1}+222=0
这样就有20a_{1}=78b_{1} b_{1}=5 a_{1}=7.8
带进去，就有a_{5}=7.8+36=43.8 b_{5}=5+32=37