Question

如图，在三角形ABC中，角BAC=90度，AD⊥BC于D，CE平分角ACB，交AD于G,交AB于E

如图，在三角形ABC中，角BAC=90度，AD⊥BC于D，CE平分角ACB，交AD于G,交AB于E，EF⊥BC于F,求证四边形AEFG是菱形

Answer 1

∵EF⊥BC，AD⊥BC
∴EF∥AG(AD)
∵CE平分∠ACB，即∠ACE=∠FCE(∠BCE)
∠EAC=∠EFC=90°(∠BAC=∠EFC=90°)
CE=CE
∴△ACE≌△FCE(AAS)
∴AE=EF
∵∠AEG=90°-∠ACE
∠DGC=90°-∠BCE(∠FCE)
∴∠AEG=∠DGC=∠AGE(对顶角）
∴AE=AG=EF
∵EF=AG，EF∥AG
∴AEFG是平行四边形
∵AE=EF=AG
∴AEFG是菱形

Answer 2

∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），
∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CE=CE，
∴由勾股定理得：AC=CF，
∵△ACG和△FCG中

AC＝CF
∠ACG＝∠FCG
CG＝CG

，
∴△ACG≌△FCG，
∴∠CAD=∠CFG，
∵∠B=∠CAD，
∴∠B=∠CFG，
∴GF∥AB，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
即AG∥EF，AE∥GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE=EF，
∴平行四边形AEFG是菱形．

追问

我现在睡了

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