Question

在△ABC中，角BAC=90度。AD⊥BC于D，CE平分角ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证四边形AEFG是菱形

用初二下学期的数学方法解，谢谢.

Answer 1

1. EF=EA

∵ ∠CAE=∠CFE=90°，（垂直等条件）
且 ∠ECA=∠ECF， （角平分线）
且RT△CAE和RT△CFE共CE

∴ RT△CAE≌RT△CFE

∴ EF=EA
且 CA=CF

2. AG=FG

∵ CA=CF （已证）
且 ∠GCA=∠GCF

且△GCA和△GCF共线CG

∴△GCA≌△GCF

∴ GA=GF

3. EF‖AG（2个垂直条件）
∴ ∠FEG=∠AGE （内错角）

由1，2，3，
△EFG≌△AGE

∴AG=FE

由3， AG‖FE

故AEFG是平行四边形，且由于AE=EF，
因此是菱形

Answer 2

AD⊥BC,EF⊥BC
∴AD//EF
CE平分角ACB
∴GE=EF
∠CEA=∠B+∠BCE=∠ECA+∠CAD=∠AGE
∴AG=AE
∴四边形AEFG是平行四边形
∴
四边形AEFG是菱形