Question

初二几何证明题

1:在三角形ABC中,AB=AC,AD是BC上的中线,AB的垂直平分线交AD于点O,角B的平分线交AD于点I,求证(1)OA=OB=OC (2)I到BC、CA、CB的距离相等
2：已知三角形ABC中，AD是BC上的高，AB=BC，角BAC=120度，DE垂直AB，DF垂直AC，垂足分别是E、F。求证DE+DF=2分之1BC

Answer 1

你好，很高兴回答你的提问~！
1、规定AB垂直平分线与AB的交点为E
（1）∵OE垂直平分AB
∴△AOB为等腰三角形（三线合一逆定理）
则AO=BO
在△ABC中
∵AB=AC且D为BC中点
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一）
则同理可证BO=CO
∴AO=BO=CO
（2）过点I分别作AB、AC的垂线，垂足分别为点F、G，连结IC
∵BI为∠ABC的角平分线
且IF⊥AB、ID垂直BC
∴IF=ID（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵AB=AC
∴IC为∠ACB的角平分线（等腰三角形两底角的角平分线交于一点）
则同理可证IG=ID
∴IF=ID=IG，即I到AB、BC、CA的距离相等

2、在△ABC中
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=（180°-120°）÷2=30°
在△BED中
∵DE⊥AB
∴∠BED=90°
则Sin∠ABC=Sin30°=DE:BD=1:2，即DE=BD/2（如果你们没学三角函数，可以直接写DE=BD/2，因为初中有条定理“直角三角形中，三十度所对的直角边等于斜边的一半”）
同理可证DF=DC/2
则BC/2=(BD+DC)/2=BD/2+DC/2=DE+DF