Question

已知函数f(x)=a^x-logax(a>1),要使f(x)恒有两个零点，则a的取值范围为

A.(1,e) b.(1,e^1/e) c (1,e^2)d (1,e^e)

Answer 1

转化为y=a^x与y=x有2个不同的交点。

• g(x)=a^x-x,求导g'(x)=lna*a^x-1,令导数等于0，得x=-loga(lna)

• g(x)在x=-loga(lna)取得最小值，只需最小值g(-loga(lna))<0即a^(-loga(lna))+loga(lna)<0

1/lna+loga(lna)<0,loga(lna)<-1/lna,左边使用换底公式，得ln(lna)<-1,

最后可算出1<a<e^(1/e)

答案选B