Question

证明limun=a的充分必要条件是lim(un-a)=0

Answer 1

lim un = a。

等价于：任意ε>0，存在N，使得当 n>N 时，|un-a|<ε。

等价于：任意ε>0，存在N，使得当 n>N 时，|(un-a) - 0|<ε。

等价于：lim (un-a) = 0。

判断充分与必要条件的方法。

一、定义法。

可以简单的记为箭头所指为必要，箭尾所指为充分。在解答此类题目时，利用定义直接推导，一定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义。

二、集合法。

如果将命题p，q分别看作两个集合A与B，用集合意识解释条件，则有：①若A＞B，则x∈A是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件；②若A＜B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，x∈B是x∈A的必要不充分条件；③若A=B，则x∈A和x∈B互为充要条件。

三、筛选法。

用特殊值、举反例进行验证，做出判断，从而简化解题过程。这种方法尤其适合于解选。

Answer 2

lim un = a
等价于：
任意ε>0，存在N，使得当 n>N 时，|un-a|<ε
等价于：
任意ε>0，存在N，使得当 n>N 时，|(un-a) - 0|<ε
等价于：
lim (un-a) = 0