Question

如图,三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,分别过点B.C作经过点A的直线L的垂线BD.CE,垂足分别为D.

①求证DE=BD+CE ②若DE=4，求梯形BDEC的面积 ③若点M为BC中点，判断△DME的形状，并说明理由

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Answer 1

解：①∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵CE⊥DE，
∴∠ACE+∠CAE=90°。
因此，∠BAD=∠ACE。
在△DBA和△EAC中，
∠ADB=90°=∠CEA，
∠BAD=∠ACE，
AB=AC，
∴△DBA≌△EAC。
因此DB=AE，AD=CE。
故DE=AD+AE=BD+CE。
②∵DE=4
∴BD+CE=4
SBDEC=1/2DE(BD+CE)
=1/2*4*4
=8
③连接AM
∵∠BAC=90°且M为BC中点
∴AM=MC
∵AB=AC且M为BC中点
∴∠AMC=90°,∠BAM=∠MAC=45°
∵∠BAM=∠MCA=45°且∠BAD=∠ACE
∴∠DAM=∠MCE
在△MAD与△MCE中
MA=MC
∠DAM=∠MCE
DA=CE
∴△MAD≌△MCE
∴MD=ME,∠DMA=∠EMC
∵∠AMC=90°
∴∠EMC+∠AME=90°
∴∠DMA+∠AME=∠DME=90°
∵MD=ME,∠DME=90°
∴△DME是等腰直角三角形