Question

设liman=a（有限数或正负无穷大），试证lim（a1+a2+...an）/n=a

Answer 1

由已知条件得到 任取b>0 存在N 当n>N时 |an-a|<b/2
而此时
|(a1+a2+...an)/n-a|=|[(a1-a)+(a2-a)+...(an-a)]/n|<=|[(a1-a)+(a2-a)+...(aN-a)]/n|+|[(a(N+1)-a)+(a(N+2)-a)+...(an-a)]/n|
因为第一项分子是有限值 所以肯定存在N2 >N n>N2时 第一项<b/2 同时也有|an-a|<b/2
所以第二项<=b/2*(n-N)/n<b/2
所以|(a1+a2+...an)/n-a|<b
所以极限是a