Question

【紧急】已知函数fx=4sinxsin^2(π/4+x/2)+cos2x-1

Answer 1

（1）解析：∵f(x)=4sinx[sin(π/4+x/2)]^2+cos2x-1
∴f(wx)=4sinwx[sin(π/4+wx/2)]^2+cos2wx-1
=2sinwx(1+sinwx)+cos2wx-1
=2sinwx+2(sinwx)^2+cos2wx-1=2sinwx+1-cos2wx+cos2wx-1
=2sinwx
∵f(wx)在区间[-π/2,2π/3]上为增函数
Wx=-π/2==>x=-π/(2w)
令-π/(2w)<=-π/2==>w<=1
Wx=π/2==>x=π/(2w)
令π/(2w)>=2π/3==>w<=3/4
取其交w<=3/4
∵w>0
∴w的取值范围为0<w<=3/4
(2)解析：∵集合A={x|π/6<=x<=2π/3}，B={x|[1/2f(x)]^2-mf(x)+m^2+m-1>0}
(sinx)^2-2msinx+m^2+m-1>0
因为x∈[π/6，2π/3]，
设sinx=t，则t∈[1/2，1]
上式化为t^2-2mt+m^2+m-1＞0
∵A⊆B恒成立，即[π/6，2π/3]是集合B的子集
∴上式在t∈[1/2，1]上恒成立．
令g(t)=t^2-2mt+m^2+m-1，
其图像为开口向上抛物线，对称轴t=m
则m<1/2,g(1/2)>0；
g(1/2)=m^2-3/4>0==>m<-√3/2或m>√3/2(舍)
∴m<-√3/2
或1/2<=m<=1,⊿<0；
⊿=4-4m<0==>m>1
∴无解
或m>1,g(1)>0；
g(1)=m^2-m>0==>m<0或m>1
∴m>1
综上：实数m的取值范围m<-√3/2或m＞1．

追问

令-π/(2w)wx=π/(2w)
令π/(2w)>=2π/3==>w<=3/4
为什么这么处理？？

追答

[-π/(2w)，π/(2w)]是正弦函数y=sinwx的单调增区间，

∵f(wx)在区间[-π/2,2π/3]上为增函数

∴-π/(2w)=2π/3成立
所以，解此不等式即可求出w范围