Question

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)，F1、F2分别是它的左、右焦点，如果在椭圆上

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)，F1、F2分别是它的左、右焦点，如果在椭圆上存在一点M(x0,y0),使得∠F1MF2=π/3，求离心率e的取值范围

Answer 1

离心率e的取值范围是[1/2，1)

设椭圆x²/a²+y²/b²＝1(a>b>0)在短轴上的顶点为B(0，b)
因为，当点M是y轴上的2个顶点时，夹角最大
所以，∠F1MF2的最大值＝∠F1BF2

因为，在椭圆上存在一点M(x0,y0)，使得∠F1MF2＝π/3
所以，∠F1BF2≥π/3
则，∠F1OF2≥π/6
因为，tan∠F1OF2＝c/b
所以，c/b≥tan(π/6)
解得，b≤√3c
即，b²≤3c²
即，a²－c²≤3c²
即，a²≤4c²
解得，e²＝c²/a²≥1/4
所以，e≥1/2
又，0<e<1
所以，离心率e的取值范围是[1/2，1)