Question

如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E．（1

如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E．（1）求证：∠BAD=∠FDE；（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB=6，AE=5时，求线段AG的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
由三角形的外角性质得，∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B，
∵∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠FDE；
（2）解：如图，过点D作DH∥AC交AB于H，
∵△ABC为等边三角形，
∴△BDH是等边三角形，
∴∠BHD=60°，BD=BH，
∴∠AHD=180°-60°=120°，
∵CE是△ABC的外角平分线，
∴∠ACE=

1

2

（180°-60°）=60°，
∴∠DCE=60°+60°=120°，
∴∠AHD=∠DCE=120°，
又∵AH=AB-BH，CD=BC-BD，
∴AH=CD，
在△AHD和△DCE中，

∠BAD＝∠FDE AH＝CD ∠AHD＝∠DCE

，
∴△AHD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=∠DEA=60°，AE=AD=5，
∵∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-∠CAD，
∠EAG=∠DAE-∠CAD=60°-∠CAD，
∴∠BAD=∠EAG，
∴△ABD∽△AEG，
∴

AG

AD

=

AE

AB

，
即

AG

5

=

5

6

，
解得AG=

25

6

．