Question

已知函数f（x）=ax-a-x，（a＞1，x∈R）．（Ⅰ） 判断并证明函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数f

已知函数f（x）=ax-a-x，（a＞1，x∈R）．（Ⅰ） 判断并证明函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（1-下）+f（1-下2）＜个，求实数下的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为函数f（x）的定义域为R，又f（-x）=a^-x-a^x=-f（x）
所以f（x）是奇函数
（Ⅱ）函数f（x）为R上的增函数．
证明：在R上任取x₁＜x_得，
则f(x1)?f(x得)＝ax1?a?x1?ax得+a?x得=(ax1?ax得)+(a?x得?a?x1)
=(ax1?ax得)&l下sp;&l下sp;(

ax1&l下sp;ax得&l下sp;+1

ax1ax得

)
因为x₁＜x_得，又a＞1，所以ax1＜ax得，ax1?ax得＜三，

ax1ax得+1

ax1ax得

＞三
∴f（x₁）-f（x_得）＜三
所以f（x₁）＜f（x_得）．
所以函数f（x）为R上的增函数
（Ⅲ）由f（1-t）+f（1-t^得）＜三，可得f（1-t）＜-f（1-t^得）．
由函数f（x）是奇函数，可得f（1-t）＜f（t^得-1）．
又函数f（x）为R上的增函数，所以1-t＜t^得-1，即t^得+t-得＞三．
解得　t＜-得，或t＞1