如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°.侧面PAD是一等边三角形,且平面PAD⊥底面ABCD,
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°.侧面PAD是一等边三角形,且平面PAD⊥底面ABCD,G是AD的中点.(1)求证:BG⊥平面PAD;...
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°.侧面PAD是一等边三角形,且平面PAD⊥底面ABCD,G是AD的中点.(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)取AB、PC的中点M、N,求证:MN∥平面PAD;(3)求二面角A-BC-P的大小.
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解答:(1)证明:∵ABCD为菱形,且∠DAB=60°,
∴△ABD为等边三角形,且G为AD的中点,
∴BG⊥AG,
又平面PAD⊥平面ABCD,
∴BG⊥平面PAD.
(2)证明:取PD的中点H,连结AH与HN.
∵H、N分别为PD、PC的中点,
∴HN∥CD,且HN=
CD,
又∵四边形ABCD为菱形,
∴AB∥CD,且AB=CD.
又∵M为AB的中点,∴AM∥CD,且AM=
CD.
∴HN∥AM,且HN=AM,
∴四边形AMNH是平行四边形,
∴AH∥MN,
又∵AH?平面PAD,MN不包含于平面PAD,
∴MN∥平面PAD.…(8分)
(3)解:由前证明可得:PG垂直于平面ABC,AD垂直于平面PGB,
得到:AD垂直BG和BP,又AD平行于BC,
即得:BC垂直于BG和BP,
则二面角A-BC-P的平面角为∠PBG.
∵△ABD为等边三角形,
侧面PAD是一等边三角形,
∴在三角形PBG中,∠PBG=45°,
∴二面角A-BC-P的大小为45°.…(12分)
∴△ABD为等边三角形,且G为AD的中点,
∴BG⊥AG,
又平面PAD⊥平面ABCD,
∴BG⊥平面PAD.
(2)证明:取PD的中点H,连结AH与HN.
∵H、N分别为PD、PC的中点,
∴HN∥CD,且HN=
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又∵四边形ABCD为菱形,
∴AB∥CD,且AB=CD.
又∵M为AB的中点,∴AM∥CD,且AM=
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∴HN∥AM,且HN=AM,
∴四边形AMNH是平行四边形,
∴AH∥MN,
又∵AH?平面PAD,MN不包含于平面PAD,
∴MN∥平面PAD.…(8分)
(3)解:由前证明可得:PG垂直于平面ABC,AD垂直于平面PGB,
得到:AD垂直BG和BP,又AD平行于BC,
即得:BC垂直于BG和BP,
则二面角A-BC-P的平面角为∠PBG.
∵△ABD为等边三角形,
侧面PAD是一等边三角形,
∴在三角形PBG中,∠PBG=45°,
∴二面角A-BC-P的大小为45°.…(12分)
推荐于2016-06-27 · 知道合伙人教育行家
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解:
(1)证明:△ABD为等边三角形且G为AD的中点,
∴BG⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,
∴BG⊥平面PAD。
(2)证明:△PAD是等边三角形且G为AD的中点,
∴AD⊥PG,且AD⊥BG,PG∩BG=G,
∴AD⊥平面PBG,
又平面PBG,
∴AD⊥PB。
(3)解:由AD⊥PB,AD∥BC,
∴BC⊥PB,
又BG⊥AD,AD∥BC,
∴BG⊥BC,
∴∠PBG为二面角A-BC-P的平面角,
在Rt△PBG中,PG=BG,∴∠PBG=45°。
(1)证明:△ABD为等边三角形且G为AD的中点,
∴BG⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,
∴BG⊥平面PAD。
(2)证明:△PAD是等边三角形且G为AD的中点,
∴AD⊥PG,且AD⊥BG,PG∩BG=G,
∴AD⊥平面PBG,
又平面PBG,
∴AD⊥PB。
(3)解:由AD⊥PB,AD∥BC,
∴BC⊥PB,
又BG⊥AD,AD∥BC,
∴BG⊥BC,
∴∠PBG为二面角A-BC-P的平面角,
在Rt△PBG中,PG=BG,∴∠PBG=45°。
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