Question

（2014?武汉模拟）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面

（2014?武汉模拟）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?面ABCD，
∴PA⊥BD．
∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，
∴PC⊥BD．
又PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC．…（6分）
（Ⅱ）解：如图，设AC与BD的交点为O，连结OE．

∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE．
由（Ⅰ）知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，
由题设条件知，四边形ABCD为正方形．
由AD=2，得AC=BD=2

2

，OC=

2

．
在Rt△PAC中，PC=

PA2+AC2

=

12+(2 2 )2

=3．
易知Rt△PAC∽Rt△OEC，
∴

OE

PA

=

CE

AC

=

OC

PC

，即

OE

1

=

CE

2 2

=

2

3

，∴OE=

2

3

，CE=

4

3

．
∴V_E-BCD=

1

3

S_△CEO?BD=

1

3

?

1

2

OE?CE?BD=

1

6

?

2

3

?

4

3

?2

2

=

8

27

．…（13分）