Question

设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，M是E上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与E的另一

设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，M是E上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与E的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为34，求E的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为1，且a=3，求|MN|的长．

Answer 1

（1）将x=c代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得
y=

b2

a

∴M（c，

b2

a

）；
∵F₁（-c，0），
∵MN的斜率为

3

4

，
∴

3

4

＝

b2 a

2c

，
∵b²=a²-c²
∴2a²-3ac-2c²=0
∴2e²+3e-2=0
解得e＝

1

2

，e＝?2
e=-2不合题意
∴e＝

1

2

（2）由题意，设MN与y轴交于P，Z则OP∥F₂M，
∴

1

b2 a

＝

1

2

，
∵a=3，
∴b²=6，
∴椭圆方程为：

x2

9

+

y2

6

＝1
∵直线MN过点(?

3

，0)和（0，1）故直线MN的方程为y＝

3

3

x+1，即x＝

3

(y?1)
代入椭圆方程得

x2 9 + y2 6 ＝1 x＝ 3 (y?1)

消x得 3y²-4y-4=0
∴

y1+y2＝ 4 3 y1y2＝? 4 3

，
(y1+y2)2?4y1y2＝

16

9

+

16

3

＝

64

9

故|y1?y2|＝

8

3

，
所以|MN|=|y1?y2|

1+ 1 k2

=

8

3

1+( 3 )2

＝

16

3

，
故|MN|的长

16

3

．