Question

已知函数f（x）=ln（x+1）+ax．（1）当x=0时，函数f（x）取得极大值，求实数a的值；（2）若存在x∈[1，2]

已知函数f（x）=ln（x+1）+ax．（1）当x=0时，函数f（x）取得极大值，求实数a的值；（2）若存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数a的取值范围；（3）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）f′（x）= 1 x+1 +a 由f′（0）=0，得a=-1，此时f′（x）= 1 x+1 -1． 当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增； 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减； ∴函数f（x）在x=0处取得极大值，故a=-1． （2）∵f′（x）≥2x，∴ 1 x+1 +a≥2x，∴a≥2x- 1 x+1 ． 令g（x）=2x- 1 x+1 （1≤x≤2）， ∴g′（x）=2+ 1 (x+1 ) 2 ＞0，∴g（x）在[1，2]上是增函数， ∴a≥g（1）= 3 2 ．存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立． （3）f′（x）= 1 x+1 +a． ∵ 1 x+1 ＞0， ∴当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数． 当a＜0时，令f′（x）=0，x=- 1 a -1； 若x∈（-1，- 1 a -1）时，f′（x）＞0， 若x∈（- 1 a -1，+∞）时，f′（x）＜0； 综上，当a≥0时，函数f（x）递增区间是（-1，+∞）； 当a＜0时，函数f（x）递增区间是：（-1，- 1 a -1），递减区间是：（- 1 a -1，+∞）．