Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F． （1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．

Answer 1

（1）3。2.4。 （2）证明见解析

试题分析：（1）根据勾股定理求出AC，证△ACB∽△ADE，得出 ，代入求出DE=6，AE=10，过O作OQ⊥EF于Q，证△EQO∽△EDA，代入求出OQ即可。 （2）连接EG，求出EG⊥CD，求出CF=ED，根据等腰三角形三线合一的性质求出即可。 解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴由勾股定理得：AC=4。 ∵AB=5，BD=3，∴AD=8。 ∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴∠ACB=∠ADE。 ∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADE。 ∴ ，即 。∴DE=6，AE=10。 ∴⊙O的半径为3。 过O作OQ⊥EF于Q，则∠EQO=∠ADE=90°， ∵∠QEO=∠AED，∴△EQO∽△EDA。 ∴ ，即 。 ∴OQ=2.4，即圆心O到弦EF的距离是2.4。 （2）证明：连接EG， ∵AE=10，AC=4，∴CE=6。∴CE=DE=6。 ∵DE为直径，∴∠EGD=90°。 ∴EG⊥CD。 ∴点G为CD的中点。