Question

如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和

如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时APPB的值；（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．

Answer 1

（1）∵等边△APD和△BPC，
∴PC=BC，∠CPD=60°，∠DPA=∠CBP=60°，
∴PD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCB=∠PDC=90°，
∴∠DCP=30°，
∴tan∠DBC=

CD

BC

=

CD

PC

=cos30°=

3

2

；

（2）由已知，CD²=DE?DB，
即

DE

CD

＝

CD

DB

，
又∵∠CDE=∠CDE，
∴△DCE∽△DBC，
∴

DE

CD

＝

CD

DB

＝

CE

BC

，
又∵CP=BC，

CE

BC

＝

CE

CP

，
∵PD∥BC，
∴

CE

CP

＝

BE

BD

，
∴

CD

DB

＝

CE

CP

＝

BE

BD

，
∴CD=BE，
∴

DE

BE

＝

BE

DB

，即点E是线段BD的黄金分割点．
∴

DE

BE

＝

BE

DB

＝

5 ?1

2

，
又∵PC∥AD，
∴

AP

PB

＝

DE

BE

＝

5 ?1

2

，

（3）设AP=a，PB=b，
∴S