Question

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在以O为球心的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，若三棱锥S

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在以O为球心的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，若三棱锥S-ABC的体积为 2 6 ，则球O的表面积为______．

Answer 1

根据题意作出图形： 设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O 1 ，则OO 1 ⊥平面ABC， 延长CO 1 交球于点D，则SD⊥平面ABC． ∵CO 1 = 2 3 × 3 2 = 3 3 ， ∴OO 1 = r 2 -( 3 3 ) 2 = r 2 - 1 3 ， ∴高SD=2OO 1 =2 r 2 - 1 3 ， ∵△ABC是边长为1的正三角形， ∴S △ABC = 3 4 ， ∴V 三棱锥S-ABC = 1 3 × 3 4 ×2 r 2 - 1 3 = 2 6 ， ∴r=1．则球O的表面积为 4π 故答案为：4π．