Question

设随机变量（X，Y）的联合概率密度为f（x，y）=cxe?y，0＜x＜y＜+∞0，其他．（1）求常数c；（2）X与Y是

设随机变量（X，Y）的联合概率密度为f（x，y）=cxe?y，0＜x＜y＜+∞0，其他．（1）求常数c；（2）X与Y是否独立？为什么？（3）求fX|Y（x|y），fY|X（y|x）；（4）求P{X＜1|Y＜2}，P{X＜1|y=2}．

Answer 1

（1）由概率密度函数的性质

∫

+∞ ?∞

∫

+∞ ?∞

f(x，y)dxdy＝1，得

∫

+∞ 0

dy

∫

y 0

cxe?ydx=

c

2

∫

+∞ 0

y2e?ydy＝c＝1
即c=1
（2）由于为判断X与Y的相互独立性，先要计算边缘密度f_X（x）与f_Y（y）．
fX(x)＝

∫

+∞ ?∞

f(x，y)dy=

xe?x amp;，x＞0 0 amp;，x≤0

类似地，有 fY(y)＝

1 2 y2e?y amp;，y＞0 0 amp;，y≤0

由于在0＜x＜y＜+∞上，f（x，y）≠f_X（x）f_Y（y）
因此随机变量X与Y不是相互独立的．
（3）当y＞0时，f_X|Y（x|y）=

f(x，y)

fY(y)

=

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