Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD₁B₁相交于点G，
连接OG，因为PC∥平面BDD₁B₁，平面BDD₁B₁∩平面APC=OG，
故OG∥PC，所以，OG=

1

2

PC=

m

2

．
又AO⊥BD，AO⊥BB₁，所以AO⊥平面BDD₁B₁，
故∠AGO是AP与平面BDD₁B₁所成的角．
在Rt△AOG中，tan∠AGO=

OA

GO

＝

2 2

m 2

＝3

2

，即m=

1

3

．
所以，当m=

1

3

时，直线AP与平面BDD₁B₁所成的角的正切值为3

2

．
（2）可以推测，点Q应当是A_IC_I的中点，当是中点时
因为D₁O₁⊥A₁C₁，且 D₁O₁⊥A₁A，A₁C₁∩A₁A=A₁，
所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，
又AP?平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP．
那么根据三垂线定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影与AP垂直．