Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长

如图，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1，又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此下去，得到线段OP3，OP4…，OPn（为正整数）（1）求点P3的坐标；（2）我们规定：把点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3…）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Pn的“绝对坐标”，根据图中Pn的分布规律，求出点Pn的“绝对坐标”．

Answer 1

（1）根据题意，得OP₃=2OP₂=4OP₁=8OP₀=8，
根据等腰直角三角形的性质，得P₃（-4

2

，4

2

）；

（2）由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的角平分线上或x轴或y轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：
①当P_n的n=0，4，8，12…，则点在x轴上，则（2ⁿ，0）
②当P_n的n=2，6，10，14…，则点在y轴上，则点（0，2ⁿ）
③当P_n的n=1，3，5，7，9…，则点在各象限的分角线上，则点（2^n-1

2

，2^n-1

2

）．