Question

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=13BC，CE=13AC，BE与AD相交于点F，连接DE，则下列

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=13BC，CE=13AC，BE与AD相交于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE2=DF?DA；④AF?BE=AE?AC，其中正确的是______．（填序号）

Answer 1

解答：解：∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∵BD=

1

3

BC，CE=

1

3

AC
∴BD=CE．
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBD=60°
∴∠ABE+∠CBE=60°
∵∠AFE是△ABF的外角
∴∠AFE=60°
∴①是对的；
如图，从CD上截取CM=CE，连接EM，则△CEM是等边三角形
∴EM=CM=EC
∵EC=

1

2

CD
∴EM=CM=DM
∴∠CED=90°
∴DE⊥AC，
∴②是对的；
由前面的推断知△BDF∽△ADB
∴BD：AD=DF：DB
∴BD²=DF?DA
∴CE²=DF?DA
∴③是对的；
在△AFE和△BAE中，∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AF?BE=AE?AC
∴④是对的；
故答案为：①，②，③，④．