过椭圆x24+y2＝1的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于A、B、C、D四点，则四边形ABCD面积的最小值
过椭圆x24+y2＝1的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于A、B、C、D四点，则四边形ABCD面积的最小值为（）A．2B．3425C．3325D．3225...
过椭圆x24+y2＝1的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于A、B、C、D四点，则四边形ABCD面积的最小值为（ ）A．2B．3425C．3325D．3225
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由椭圆
+y2＝1可得a2=4，b2=1，c＝
＝
．
①当AC或BD中的一条与x轴垂直而另一条与x轴重合时，此时四边形ABCD面积S=
×2a×
=2b2=2．
②当直线AC和BD的斜率都存在时，不妨设直线AB的方程为y=k（x+
），则直线CD的方程为y＝?
(x+
)．
联立
，化为(1+4k2)x2+8
k2x+12k2?4＝0，
∴x1+x2＝
，x1x2＝
．
∴|AB|=
=
=
．
把k换成?
可得|CD|=
．
∴四边形ABCD面积S=
|AB| |CD|=
×
×
=
=
．
当且仅当
＝
| x2 |
| 4 |
| a2?b2 |
| 3 |
①当AC或BD中的一条与x轴垂直而另一条与x轴重合时，此时四边形ABCD面积S=
| 1 |
| 2 |
| 2b2 |
| a |
②当直线AC和BD的斜率都存在时，不妨设直线AB的方程为y=k（x+
| 3 |
| 1 |
| k |
| 3 |
联立
|
| 3 |
∴x1+x2＝
?8
| ||
| 1+4k2 |
| 12k2?4 |
| 1+4k2 |
∴|AB|=
| (1+k2)[(x1+x2)2?4x1x2] |
(1+k2)[(
|
| 4(1+k2) |
| 1+4k2 |
把k换成?
| 1 |
| k |
| 4(1+k2) |
| 4+k2 |
∴四边形ABCD面积S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4(1+k2) |
| 1+4k2 |
| 4(1+k2) |
| 4+k2 |
| 8(1+k2)2 |
| 4k4+17k2+4 |
| 8 | ||||||
?9(
|
当且仅当
| 1 |
| 1+k2 |
