Question

如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积(尺寸如图，单位：cm，π取3.14

如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积(尺寸如图，单位：cm，π取3.14，结果分别精确到1平方厘米，1立方厘米，可用计算器)

Answer 1

由三视图画出奖杯的草图可知，球的直径为4cm，则球的半径R为2cm，所以球的表面积和体积分别为：S球=4πR2=4π•22=16π（cm2），V球=43πR3=43π•23=323π（cm）3．
而四棱柱（长方体）的长为8cm，宽为4cm，高为20cm，所以四棱柱（长方体）的表面积和体积分别为：
S四棱柱=（8×4+4×20+8×20）×2=272×2=544cm2，
V四棱柱=8×4×20=640cm3
四棱台的表面积和体积
知道该四棱台的高为2cm，上底面为一个边长为12cm的正方形，下底面为边长为20cm的正方形．我们知道四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上、下底面面积的总和．所以关键的是求出四棱台四个侧面的面积，因为它的四个侧面的面积相等，所以主要求出其中一个侧面面积，问题就解决了．下面我们先求出四棱台ABCD面上的斜高，过点A做AE⊥CD，AO垂直底面于点O，连接OE，已知AO=2cm，则AE为四棱台ABCD面上的斜高：
∴AE=20-1222+22=25cm，所以四棱台的表面积和体积分别为：
S四棱台=S四棱台侧+S上底+S下底=4×12+202×25+12×12+20×20
=（1285+544）cm2，
V四棱台=1312×12+12×12+20×20+20×20×2
=23544+434cm3．
我们知道表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小；体积是几何体占空间的大小．所以分别将球体、四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的表面积．应将相加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积：
∴奖杯的表面积S=S球+S四棱柱+S四棱台-2×S四棱柱底面
=16π+544+1285+544-2×（4×8）
=16π+1024+1285
≈1360cm2，
奖杯的体积V=V球+V四棱柱+V四棱台=323π+640+23434+544
≈1052cm3．

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