Question

已知函数 f(x)=2x+ 2 x +alnx，a∈R ．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值

已知函数 f(x)=2x+ 2 x +alnx，a∈R ．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．（2）记函数g（x）=x 2 [f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

（本小题满分14分） （1） f′(x)=2- 2 x 2 + a x ≥0 ， ∴ a≥ 2 x -2x 在[1，+∞）上恒成立…（2分） 令 h(x)= 2 x -2x，x∈[1，+∞) ∵ h ′ (x)=- 2 x 2 -2＜0 恒成立， ∴h（x）在[1，+∞）单调递减…（4分） h（x） max =h（1）=0…（6分） ∴a≥0， 故实数a的取值范围为[0，+∞）．…（7分） （2）g（x）=2x 3 +ax-2，x＞0 ∵g′（x）=6x 2 +a…（9分） 当a≥0时，g′（x）≥0恒成立， ∴g（x）在（0，+∞）单调递增，无最小值，不合题意， ∴a＜0．…（11分） 令g′（x）=0，则 x= -a 6 （舍负） ∵0＜x＜ -a 6 时，g′（x）＜0；x＞ -a 6 时，g′（x）＞0， ∴g（x）在 (0， -a 6 ) 上单调递减，在 ( -a 6 ， +∞) 上单调递增， 则 x= -a 6 是函数的极小值点． g(x ) min =g(x ) 极小 =g( -a 6 )=-6 ．…（13分） 解得a=-6， 故 f(x)=2x+ 2 x -6lnx ．…（14分）