Question

已知函数f(x)=x^2+aln x＋2/x在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

f'(x)=2x+a/x-2/x²

∵在[1，＋∞)上是单调函数，
若递增则 f'(x)≥0恒成立
,即2x+a/x-2/x²≥0，a/x≥2/x²-2x,
即a≥2/x-2x²恒成立
设g(x)=2/x-2x²
需a≥g(x)max
∵ g'(x)=-2/x²-4x<0
∴g(x)是减函数
∴ g(x)max=g(1)=0
∴a≥0

若f(x)在[1，＋∞)上是单调递减函数，
则a≤2/x-2x²恒成立，此时a不存在

∴实数a的取值范围．a≥0

Answer 2

解答：
由已知，
f'(x)=2x+a/x-2/x²在[1，＋∞)上恒非负，或恒非正
（1）2x+a/x-2/x²≥0在[1，＋∞)上恒成立
a≥2/x-2x²在[1，＋∞)上恒成立
g(x)=2/x-2x²在[1，＋∞)上是减函数，
最大值为g(1)=2-2=0
所以 a≥0
（2）2x+a/x-2/x²≤0在[1，＋∞)上恒成立
a≤2/x-2x²在[1，＋∞)上恒成立
g(x)=2/x-2x²在[1，＋∞)上是减函数，可以趋于负无穷大
不能恒成立，

综上 a≥0