Question

对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”，若f（f（x））=x，则称x为f（x）的“稳定点”

对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”，若f（f（x））=x，则称x为f（x）的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}．（Ⅰ）求证：A?B；（Ⅱ）若f（x）=ax2-1（a∈R，x∈R），且A=B≠?，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若f（x）是R上的单调递增函数，x0是函数的稳定点，问x0是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由．

Answer 1

（Ⅰ）若A=?，则A?B显然成立；若A≠?，
设t∈A，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，
∴t∈B，故A?B．（3分）
（Ⅱ）∵A≠?，∴ax²-1=x有实根，
∴a≥?

1

4

．又A?B，所以a（ax²-1）²-1=x，
即a³x⁴-2a²x²-x+a-1=0的左边有因式ax²-x-1，
从而有（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）=0．（6分）
∵A=B，
∴a²x²+ax-a+1=0要么没有实根，要么实根是方程ax²-x-1=0的根．若a²x²+ax-a+1=0没有实根，
则a＜

3

4

；若a²x²+ax-a+1=0有实根且实根是方程ax²-x-1=0的根，
则由方程ax²-x-1=0，得a²x²=ax+a，代入a²x²+ax-a+1=0，有2ax+1=0．
由此解得x＝?

1

2a

，再代入得

1

4a

+

1

2a

?1＝0，
由此a＝

3

4

，故a的取值范围是[?

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4

，

3

4

]．（10分）
（Ⅲ）由题意：x₀是函数的稳定点则f（f（x₀））=x₀，设f（x₀）＞x₀，f（x）是R上的单调增函数，
则f（f（x₀））＞f（x₀），
所以x₀＞f（x₀），矛盾．（12分）
若x₀＞f（x₀），f（x）是R上的单调增函数，则f（x₀）＞f（f（x₀）），
所以f（x₀）＞x₀，矛盾（15分）
故f（x₀）=x₀，
所以x₀是函数的不动点．（16分）