Question

对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f（x)的“不动点” ；若f[f(x)]=x,则称x为f（x)的“稳定点” 。函数f(x)的

对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f（x)的“不动点” ；若f[f(x)]=x,则称x为f（x)的“稳定点” 。函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x/f(x)=x}, B={x/f[f(x)]=x.
(1)求证：A是B的子集；
（2）若f(x)=ax^2-1(a,x属于R),且A=B不等于空集，求a的范围。
1+4a应该大于等于0吧

另外还要求B是A的子集
观察下列方程（方程2）
f(f(x))=x,必然只有u,v两个解

即f(x)=u 的两个解也为u,v
f(x)=v 的两个解也为u,v

然后计算一下,可以得到答案
解释清楚一点，好吗？

Answer 1

任取k属于A , 则由A的定义有 f(k)=k, 进一步有f[f(k)]=f[k]=k ,说明k属于B，这就说明了A是B的子集

第二问：
若a=0, f(x)=-1.显然有A=B={-1}

若a不为0，要有
方程 ax^2-1=x 有解 即 ax^2-x-1 =0 （方程1）有解
设这个方程的解为u,v
所以1+4a>=0 a>=-1/4

令g(x)=ax^2-x-1 则 f(x)=g(x)-x

另外还要求B是A的子集
就是说
方程f(f(x))=x,必然只有u,v两个解，即除了u,v外无其它解

方程f(f(x))=x,可以经过以下过程变形

然后计算一下,可以得到答案