Question

对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f（x)的“不动点” ；若f[f(x)]=x,则称x为f（x)的“稳定点” 。

对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f（x)的“不动点” ；若f[f(x)]=x,则称x为f（x)的“稳定点” 。函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，若B中只有一个元素，那么A中是否只有一个元素？并说明理由。
那么A能为空集吗

Answer 1

反证法， 设A中有不止一个元素，则取出其中任意两元素m,n则f(m)=m,f(n)=n,此时f[f(m)]=m，f[f(n)]=n，则m,n均为B中元素，矛盾.，故A只有一个元素

Answer 2

反证:假设A中有不止一个元素，则取出 其中任意两元素m,n则有f(m)=m,f(n)=n,此时 f[f(m)]=f(m)=m，f[f(n)]=f(n)=n，则m,n均为B中元素 ，这与已知矛盾.故A只有一个元素，得证.