Question

已知如图，P为△ABC内任意一点，当P在什么位置时PA+PB+PC的值最小

已知如图，P为△ABC内任意一点，当P在什么位置时PA+PB+PC的值最小？

Answer 1

解：如图，将△APC绕着点C顺时针旋转60°到△CP′A′的位置，连接PP′．
则△CPA≌△CP′A′，∠PCP′=60°，
∴CP=CP′，
∴△CPP′为等边三角形，
∴∠CPP′=∠CP′P=60°，PP′=CP，A′P′=AP，
则AP+BP+CP=AP+PP′+P′A′≥BA′，
显然当A、P、P′、C′四点在同一直线上时，AP+BP+CP有最小值，
此时，∠BPC=120°，∠CP′A′=120°，
于是∠APC=∠CP′A′=120°，∠APB=360°-2×120°=120°，
∴当∠APC=∠BPC=∠APB=120°时，AP+BP+CP的和最小．