Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．（1）求证：平面PBC⊥平面PDC；（2）若∠PAB=90°，求二面角B-PD-C的正切值．

Answer 1

（1）证明：延长BA，CD交于M点，连接MP，则BM=2，
A是BM的中点，AP=

1

2

BM，
∴MP⊥PB，
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，
∴BC⊥平面PBM，可得BC⊥MP，
故MP⊥平面PBC，
∵MP?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD；
（2）解：∵∠PAB=90°，∴PA⊥平面ABCD，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，如图建立坐标系，
则B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），M（-1，0，0），

BD

=（-1，1，0），

BP

=（-1，0，1），

MP

=（1，0，1），

MD

=（1，1，0）．
设平面PBD的法向量为

m

=（x₁，y₁，z₁），可得

BP ? 霓屠Cn 推荐于2018-04-07 · 知道合伙人教育行家 霓屠Cn 知道合伙人教育行家 采纳数：1211 获赞数：5585 向TA提问 私信TA 关注 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2． （1）求证：平面PBC⊥平面PDC； （2）若∠PAB=90°，求二面角B-PD-C的正切值 （1）证明：见下图。因面PAB⊥面ABCD，作在BE⊥PC于E，作EG//PD，交CD于G，连结BG；作EH⊥EG于H；则平面BEG⊥平面ABCD。CE^2=EG^2+CG^2,BC^2=BG^2+CG^2, BE^2=BC^2-CE^2 =(BG^2+CG^2)-(EG^2+CG^2)=BG^2-EG^2; 所以，△BEG满足勾股定理，是直角△；所以，BE⊥EG，BE⊥面PCD；因为BE是平面PBC内的直线，所以平面PBC⊥平面PCD。 （2）作BF⊥PD交PD于F；作FH⊥PD，交PC于H；如果连结BH，则平面BEH是平面PBD和平面PCD的公垂面。因为AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2; ∠PAB=90°。所以PB=PD=BD=CD=√2；△PBD是等边三角形；△DCP是等腰三角形。根据余弦定理，cos∠PDC=(2PD^2-PC^2)/2PD^2=[2*2-(2+2^2)]/(2*2)=-1/2,∠PDC=120D; ∠DPC=∠DCP=(180D-120D)/2=30D; PF=(1/2)PB, HF=PFtan30D=(1/2)√2*√3/3=√6/6; BH=(√3/2)PB=(√3/2)√2=√6/2; ∠BDC=90D, 所以，tan∠B-PD-C=tan∠BFH=BF/FH=(√6/2)/√6/6=3。 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2015-02-10 （2014?安徽模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD... 2015-02-10 （2014?安徽模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD... 2015-02-05 （2013?南京二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面AB... 2015-02-09 （2012?东城区模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，底面AB... 2015-02-10 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABC... 2015-02-04 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD ∥ ... 2013-02-13 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC... 2015-02-04 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角... 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式

Answer 2

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（2）若∠PAB=90°，求二面角B-PD-C的正切值

（1）证明：见下图。因面PAB⊥面ABCD，作在BE⊥PC于E，作EG//PD，交CD于G，连结BG；作EH⊥EG于H；则平面BEG⊥平面ABCD。CE^2=EG^2+CG^2,BC^2=BG^2+CG^2, BE^2=BC^2-CE^2 =(BG^2+CG^2)-(EG^2+CG^2)=BG^2-EG^2; 所以，△BEG满足勾股定理，是直角△；所以，BE⊥EG，BE⊥面PCD；因为BE是平面PBC内的直线，所以平面PBC⊥平面PCD。

（2）作BF⊥PD交PD于F；作FH⊥PD，交PC于H；如果连结BH，则平面BEH是平面PBD和平面PCD的公垂面。因为AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2; ∠PAB=90°。所以PB=PD=BD=CD=√2；△PBD是等边三角形；△DCP是等腰三角形。根据余弦定理，cos∠PDC=(2PD^2-PC^2)/2PD^2=[2*2-(2+2^2)]/(2*2)=-1/2,∠PDC=120D; ∠DPC=∠DCP=(180D-120D)/2=30D; PF=(1/2)PB, HF=PFtan30D=(1/2)√2*√3/3=√6/6; BH=(√3/2)PB=(√3/2)√2=√6/2; ∠BDC=90D, 所以，tan∠B-PD-C=tan∠BFH=BF/FH=(√6/2)/√6/6=3。