Question

设a，b，c是三个互不相等的正整数，求证：在a3b-ab3，b3c-bc3，c3a-ca3这三个数中，至少有一个数能被10整

设a，b，c是三个互不相等的正整数，求证：在a3b-ab3，b3c-bc3，c3a-ca3这三个数中，至少有一个数能被10整除．

Answer 1

a3b?ab3＝ab(a2?b2)(1) b3c?bc3＝bc(b2?c2)(2) c3a?ca3＝ca(c2?a2)(3)

∴在a，b，c中有偶数或都是奇数时，
a³b-ab³，b³c-bc³，c³a-ca³三数总和整除2，
又∵在a，b，c三数，若有一个数是5的倍数，则得证命题．
设a，b，c都不能被5整除，则a²，b²，c²的个位数只能是1，4，6，9．
从而a²-b²，b²-c²，c²-a²的个位数字只能是从1，4，6，9中取3个，两两相差的差．
∵这些差中必有0或±5，
∴所以题中三式表示的数至少有一个能被5整除．
∵[2，5]=10，（2，5）=1，
∴a³b-ab³，ac³-a³c，b³c-bc³，至少有一个能被10整除．