已知函数f(x)对任意的实数m、n都有:f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,有f(x)>1.(1)求证:

已知函数f(x)对任意的实数m、n都有:f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,有f(x)>1.(1)求证:f(x)在R上为增函数;(2)若f(4)=5,解关... 已知函数f(x)对任意的实数m、n都有:f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,有f(x)>1.(1)求证:f(x)在R上为增函数;(2)若f(4)=5,解关于x的不等式f(x2+x-4)<3;(3)若关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)<2恒成立,求实数a的取值范围. 展开
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泥殿服c
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知道答主
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解答:(1)证明:任取x1,x2∈R且x1<x2,∴x2-x1>0,
∵当x>0时,有f(x)>1,
∴f(x2-x1)>1,
∵f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1>1+f(x1)-1=f(x1),
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在R上为增函数;
(2)∵f(4)=5=f(2)+f(2)-1,
∴f(2)=3,
∴f(x2+x-4)<3即f(x2+x-4)<f(2),
∵f(x)在R上为增函数,
∴x2+x-4<2,
∴-3<x<2;
(3)令m=n=0,
∴f(0)=2f(0)-1,
∴f(0)=1,
∵f(ax-2)+f(x-x2)<2即 f(ax-2)+f(x-x2)-1<1,
∴f(ax-2+x-x2)<f(0),
由①知 ax-2+x-x2<0恒成立,
∴x2-(a+1)x+2>0恒成立,
∴△=(a+1)2-4×2<0,
?2
2
?1<a<2
2
?1
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