Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC，过点B作x轴的垂线交直线AC于点D，设点B坐标是（t，0）。 （1）当t=4时，求直线AB的解析式；（2）当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；（3）是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）当t=4时，B（4，0） 设直线AB的解析式为y= kx+b 把 A（0，6），B（4，0） 代入得： 解得： ∴直线AB的解析式为y=- x+6. （2）过点C作CE⊥x轴于点E 由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE， 得△AOB∽△BEC ∴ ∴ ∴点C的坐标为（t+3， ） S 梯形AOEC = S △AOB = S △BEC = ∴S △ABC = S 梯形AOEC - S △AOB -S △BEC 。 （3）存在，理由如下： ①当t≥0时 i）若AD=BD 又∵BD∥y轴 ∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD， ∴∠OAB=∠BAD 又∵∠AOB=∠ABC， ∴△ABO∽△ACB ∴ ∴ ∴t=3，即B（3，0）。 ii）若AB=AD 延长AB与CE交于点G 又∵BD∥CG ∴AG=AC 过点A作AH⊥CG于H ∴ 由△AOB∽△GEB 得 ∴ 又∵HE=AO=6， ∴ ∴ 解得： 因为 t≥0 ∴ 即 ； iii）由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为钝角， 故BD≠AB 当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB ∴当t≥0时，不存在BD=AB的情况。 ②当-3≤t＜0时，∠DAB是钝角 设AD=AB， 过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F 可求得点C的坐标为 ∴ 由BD∥y轴，AB=AD得， ∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB ∴∠BAO=∠FAC， 又∵∠AOB=∠AFC=90°， ∴△AOB∽△AFC， ∴ ∴ ∴ 解得 因为-3≤t＜0 所以 即 。 ③当t＜-3时，∠ABD是钝角 设AB=BD，过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F， 可求得点C的坐标为 ∴ ∵AB=BD， ∴∠D=∠BAD 又∵BD∥y轴， ∴∠D=∠CAF， ∴∠BAC=∠CAF 又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC， ∴△ABC≌△AFC， ∴AF=AB，CF=BC ∴ 解得：t=-8，即B（-8，0） 综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为： 。