Question

已知数列{an}满足an+1=-an2+2an（n∈N*），且0＜a1＜1．（1）用数学归纳法证明：0＜an＜1；（2）若bn=lg

已知数列{an}满足an+1=-an2+2an（n∈N*），且0＜a1＜1．（1）用数学归纳法证明：0＜an＜1；（2）若bn=lg（1-an），且a1＝910，求无穷数列{1bn}所有项的和．

Answer 1

（1）证明：①当n=1时，由条件知，成立
②假设n=k成立，即0＜a_k＜1成立，
当n=k+1时，a_k+1=-a_k²+2a_k=-（a_k-1）²+1，
∵0＜a_K＜1
∴0＜（a_k-1）²＜1
∴0＜-（a_k-1）²+1＜1
∴0＜a_K+1＜1
这就是说，当=k+1时，0＜a_k＜1也成立．
根据①②知，对任意n∈N*，不等式0＜a_n＜1恒成立．

（2）解：1-a_n+1=（1-a_n）²，0＜a_n＜1；
lg（1-a_n+1）=lg（1-a_n）²，，即lg（1-a_n+1）=2lg（1-a_n）
即：b_n+1=2b_n
∴{b_n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列．
∴b_n=-2^n-1，∴

1

bn

＝ ?

1

2n?1

无究数列{

1

bn

}所有项的和为：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

+…=

lim

n→∞

（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

）=

lim

n→∞

[（-1）×

1?(  1 2 ) n

1? 1 2

]=-2×

lim

n→∞

（1?(

1

2

) n）=-2