Question

已知数列{an}满足条件:a1=1,a(n+1)=2an+1,n∈N* (3)证明：n/2-1/3<a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)<n/2（n∈N*）

第一问已经得an通项公式为2n-1

Answer 1

（3）首先，右边比较好证明，an/a(n+1)=(2^n－1)/(2^(n+1)－1)<2^n/2^(n＋1)=1/2
这里利用了浓度不等式。【即：a/b<(a+m)/(b+m),其中0<a<b,m>0.这个很容易证明】
累加后就可以证到右边了。
另一方面，an/a(n+1)=(2^n－1)/(2^(n+1)－1)>(2^n－1)/2^(n+1)=1/2＋1/2^(n+1)
但是证明左边的时候要先原封不动地写出前三项，即：1/3, 3/7, 7/15.
你做这些题，说明你数学还行，下面你就自己接着做吧。

追问

不是特别懂，希望给点详解。

追答

右边应该没问题吧！等会。
an/a(n+1)=(2^n－1)/(2^(n+1)－1)(2^n－1)/2^(n+1)=1/2－1/2^(n+1)
即是：an/a(n+1)>1/2＋1/2^(n+1), 下面计算：a1/a2=1/3 , a2/a3=3/7 , a3/a4=7/15,
a4/a5=15/31
∑an/a(n+1)>1/3＋3/7＋7/15＋15/31＋(n－4)/2－(1/32)[1－1/2^(n－4)]
=n/2＋(1/3＋3/7＋7/15＋15/31－2－1/32)＋(1/32)[1/2^(n－4)]
>n/2－1/3
最后一步你通过计算可以发现小括号里面的和是大于﹣1/3.
还有第一次写的这一行an/a(n+1)=(2^n－1)/(2^(n+1)－1)>(2^n－1)/2^(n+1)=1/2＋1/2^(n+1)
在1/2后面那个加号改为减号