Question

（2014?凉山州）已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，

（2014?凉山州）已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．

Answer 1

解答：（1）证明：连结OC，OA，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∵PC是⊙O的切线，C为切点，
∴PC⊥OC，
∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，
在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，
∵∠AOC=2∠PBC，
∴2∠ACO+2∠PBC=180°，
∴∠ACO+∠PBC=90°，
∵∠PCA+∠ACO=90°，
∴∠PCA=∠PBC；

（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，
∴△PAC∽△PCB，
∴

PC

PA

=

PB

PC

，
∴PC²=PA?PB，
∵PA=3，PB=5，
∴PC=

3×5

=

15

．