Question

已知二次函数y=2x2-（m+1）x+m-1．（1）求证：无论m为何值，函数y的图象与x轴总有交点．并指出当m为何值

已知二次函数y=2x2-（m+1）x+m-1．（1）求证：无论m为何值，函数y的图象与x轴总有交点．并指出当m为何值时，函数y的图象与x轴只有一个交点？（2）当m为何值时，函数y的图象过原点？并求出此时图象与x轴的另一交点的坐标；（3）如果函数y的图象的顶点在第四象限，求m的取值范围．

Answer 1

（1）
△=b²-4ac，
=[-（m+1）]²-4×2×（m-1），
=（m-3）²≥0，
故无论m为何值，函数y的图象与x轴总有交点，
当m=3时，（m-3）²=0，
即△=0，故函数y的图象与x轴只有一个交点；  

（2）当图象过原点即图象过（0，0）点；故0=m-1，
解得：m=1，
当m=1时，函数y的图象过原点，
故此函数解析式为；y=2x²-2x=2x（x-1），
当y=0，0=2x（x-1），
解得：x=0或1，
则图象与x轴的另一交点的坐标为（1，0）；

（3）∵y=2x²-（m+1）x+m-1，
=2（x²-

m+1

2

x）+m-1，
=2[（x-

m+1

4

）²-（

m+1

4

）²]+m-1，
=2（x-

m+1

4

）²-

(m?3)2

8

，
∴图象的顶点坐标为：（

m+1

4

，-

(m?3)2

8

），
∵函数y的图象的顶点在第四象限，
∴

m+1 4 ＞0 ? (m?3)2 8 ＜0

，
解得；m＞-1且m≠3，
故m的取值范围为m＞-1且m≠3．